## July 15, 2015

### Satellites Motion around Earth : Orbital & Positional Parameters at Epoch

#### Satellites   Motion   around    Earth   :   Orbital   &   Positional   Parameters   at   Epoch

by   R C  Chakraborty,   July 15,  2015,   Pages  193  –  267.

(This   is   Sec. 6,    pp  193 – 267,   of   Orbital   Mechanics  –  Model   &   Simulation   Software  (OM-MSS),   Sec.  1  to 10,   pp  1  –  402.)

The   Satellites   Orbit   around   Earth   Counterclockwise   in   the   same   way   as   Earth   orbits   around   Sun.

In  the  previous  section,   the  preliminaries  about  ‘Satellite  Orbit’   followed  by  NASA / NORAD  ‘Two-Line  Elements’ (TLE)   were  presented.   (Ref. https://myreaders.wordpress.com/2015/07/14/satellites-orbit-elements-ephemeris-keplerian-elements-state-vectors/).

Here  presented  Satellites  Motion  around  Earth  :  Computing  Orbital  &  Positional  parameters,  the  OM-MSS software  utility.   This  utility  is  applied  one-by-one  to  six  satellites,   LANDSAT 8,   SPOT 6,   CARTOSAT-2B,  ISS (ZARYA),   GSAT-14,  &   Moon.   The  Input  is  NASA / NORAD  ‘Two-Line Elements’ (TLE)  Bulletin   of   the respective  satellite.   The  Output  is  corresponding  satellite’s  motion  around  earth,  the  orbital  &  positional parameters.

Satellite  motion  around  Earth  is  represented  by  computing  about  120  orbital  parameters,   put  into   28 groups.   The  number  is  large,   because  some  parameters  are  computed  using  more  than  one  model  equation, that  require  different  inputs.   This  confirms  accuracy  &  validation  of  results  and  understanding  the  different input   considerations.

Satellite  Orbital  &  Positional  parameters  for  computation  purpose  are  put  into  following  groups  :

1.    UT  Year  and  Days  decimal  of  year  :   Convert  into  UT  YY  MM  DD  hh  min  sec  &  Julian day.

2.    Satellite  Orbit  Semi-major  axis  in  km,   Ignoring   and   also  Considering  earth  oblatenes.

3.    Satellite  Mean  motion  in  rev  per  day,   Ignoring   and   also  Considering  earth  oblatenes.

4.    Satellite  Orbit  Time  Period  in minute  at  time_t  Considering  earth  oblatenes.

5.    Satellite  Rate  of  change  of  Right  Ascension  and  Argument  of  Perigee  in  deg  per  day  at  time_t.

6.    Satellite  Mean  anomaly,   Eccentric  anomaly,   True  anomaly  in  deg  at  time_t  considering   earth oblateness.

7.    Satellite  Position  vector [rp, rq]  from  Earth  Center (EC)  to  Satellite  in  PQW  frame,   perifocal  coordinate  system.

8.    Satellite  Position  Range  Vector  from  Earth  Center (EC)  to  Satellite (SAT)  –  finding  Range  Vector [rI,  rJ,  rK,  r]  Components  in  km  in  frame  IJK.

9.    GST  Greenwich  sidereal  time  and  GHA  Greenwich  hour  angle  in  0  to  360  deg,   at  input  at  time_t.

10.  Satellite (SAT)  Orbit  point  direction  :   Finding  Right  Ascension (Alpha)  deg  and  Declination (Delta)  deg  using  angles.

11.  Satellite  Longitude  &  Latitude  in  deg at  time_t ;   (ie  Sub-Sat  point  log  &  lat  on  earth  surface).

12.  Satellite  height  in  km  from  EC  to  Sat  and  from  Earth  surface  to  Sat  at  time_t.

13.  Distance  of  Sub-Sat  point  To  Earth  Stn (ES)  in  km  over  Earth  surface  at  time_t.

14.  Local  sidereal  time (LST)  and  Local  mean  time (LMT)  over  Sub-Sat  point  Longitude  on  earth.

15.  Local  sidereal  time (LST)  and  Local  mean  time (LMT)  over  Earth  stn (ES)  or  Earth  point (EP)  Longitude.

16.  Earth  Stn  Position  Vector  from  Earth  Center (EC)  to  Earth  Stn (ES)  :   Finding  Range  Vector [RI,  RJ,  RK,  R]  Components  in  IJK  frame.

17.  Satellite  Position  Range  Vector  from  Earth  Stn (ES)  to  SAT  :   finding  Range  Vector [rvI,  rvJ,  rvK,  rv]  components  in  km  in  IJK  frame.

18.  Satellite  Position  Range  Vector  from  Earth  Stn (ES)  to  SAT  :   finding  Range  Vector [rvS,  rvE,  rvZ,  rv]  components  in  km  in  SEZ  frame.

19.  Elevation (EL)  and  Azimuth (AZ)  angle  of  Satellite  at  Earth  Observation  point  ES  or  EP.

20.  Satellite  Velocity  meter  per  sec  in  orbit.

21.  Satellite  Velocity  Vector [vX,  vY,  vZ]  in  meter  per  sec  in  orbit  in  frame XYZ.

22.  Satellite  Pitch  and  Roll  angles.

23.  Satellite  State  Vectors  –  Position [ X,  Y,  Z ]  in  km  and  Velocity [ Vx,  Vy,  Vz ]  in  meter  per  sec  at  time_t.

24.  Satellite  Direction  ie  Right Ascension  Alpha  deg  and  declination  Delta  deg  using  sat  position  vector.

25.  Satellite  Angular  momentum  km  sqr  per  sec  :   finding  [Hx,  Hy,  Hz,  H]   using  state  vector  position   and velocity.

26.  Satellite  Orbit  normal  Vector  :   finding  [Wx,  Wy,  Wz,  W] ,  Delta,  Alpha,  using  r_sat_pos  frame  IJK,  i,  RA.

27.  Satellite  Position  Keplerian  elements  computed  using  State  Vector,   at  time  input  UT.

28.  Satellite  Position  State  Vectors,   computed  using  Keplerian  elements  at  time  input  UT.

All  these  Orbital  &  Positional  parameters  are  computed  respectively  for  six  satellites  LANDSAT 8,   SPOT 6,   CARTOSAT 2B,   ISS (ZARYA),   GSAT-14,   &   Moon.

For  complete  post  (Page  193  –  267)   Move  on  to   Website   URL  :

## July 11, 2015

### Position Of Sun on Celestial Sphere at Input Universal Time

#### Position   Of   Sun   on   Celestial   Sphere   at   Input   Universal   Time

by  R C  Chakraborty,  July 11,  2015,  Pages  57 – 67.

(This   is   Sec. 3,   pp 57 – 67,   of   Orbital   Mechanics  –   Model   &   Simulation   Software  (OM-MSS),   Sec 1  to 10,  pp 1 – 402.)

Sun  is  a  star  at  the  center  of  our  Solar  System.   Although  stars  are  fixed  relative  to  each  other,  but  Sun moves   relative   to   stars.

Sun   follows   a   circular  path  on  the  celestial  sphere,  once  a  year.   This  path  is  known  as  the  ‘Ecliptic’, representing  the  plane  of  the  Earth’s  orbit.

The  Inclination   of   the  Earth’s  equator  to  the  Ecliptic  (or  earth’s  rotation  axis  to  a  perpendicular  on  ecliptic) is  called  Obliquity  of  the  ecliptic.

The  Obliquity  of  the  ecliptic  is  currently  23.4392794383  deg   with  respect  to  the  celestial  equator,  at standard  epoch  J2000 .

The   position   of   any   point   on   the  Celestial  Sphere   is   given  with  reference   to   the   equator  or  the  ecliptic.

The  Earth  moves  in  an  elliptical  orbit  around  the  Sun.   Therefore  the  distance  from  Earth  to  Sun  is  not same   at   all   points   on   the   orbit.

(a)   Find   Julian   day   of   interest   corresponding   to   the   input   Universal   Time;

(b)  Find  Corresponding  Ecliptic  coordinates  :   Mean  anomaly  of  the  Sun,  Mean  longitude  of  the  Sun, Ecliptic   longitude   of   the   Sun,

Ecliptic  latitude  of  the  Sun  is  always  nearly  zero,   Distance  of  the  Sun  from  the  Earth  in  astronomical   units,   Obliquity   of   the   ecliptic

(c)   Find   Corresponding   Equatorial   coordinates   :    Right ascension,    Declination.

In  addition  to  these  Ecliptic  and  Equatorial  coordinates,   computed  many  other  parameters  related  to  Sun’s Position  on  Celestial  Sphere.

The   Position   of   Sun   on   Celestial   Sphere   is   represented   by   computing   following  parameters   :

1.     Semi-major axis (SMA),                  2.    Mean movement per day (n sun),      3.     Mean distance (As),

4.     Mean anomaly (m sun),                  5.     True anomaly (T sun),                         6.     Eccentric anomaly (E sun),

7.     Right ascension (Alpha),                 8.     Declination (Delta),                               9.     Mean longitude (Lmean),

10.   Ecliptic longitude (Lsun),                11.   Nodal elongation (U sun),                   12.   Argument of perigee (W sun),

14.   Obliquity of ecliptic (Epcylone),     14.   Mean dist (d_sun),                               15.   Radial distance (Rs).

For   complete   post   (Page 57 – 67)     Move    on    to    Website    URL   :